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# 决策树
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# 决策树的构造
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决策树的构造是一个递归的过程，有三种情形会导致递归返回：(1) 当前结点包含的样本全属于同一类别，这时直接将该节点标记为叶节
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点，并设为相应的类别；(2) 当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分，这时将该节点标记为叶节点，并将其类
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别设为该节点所含样本最多的类别；(3) 当前结点包含的样本集合为空，不能划分，这时也将该节点标记为叶节点，并将其类别设为父节
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点中所含样本最多的类别。算法的基本流程如下图所示：
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可以看出：决策树学习的关键在于如何选择划分属性，不同的划分属性得出不同的分支结构，从而影响整颗决策树的性能。属性划分的目
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标是让各个划分出来的子节点尽可能地“纯”，即属于同一类别。
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## 数学归纳算法(ID3)
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### 信息增益
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相关概念
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1. 熵：表示随机变量的不确定性。
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2. 条件熵：在一个条件下，随机变量的不确定性。
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3. 信息增益：熵 - 条件熵，在一个条件下，信息不确定性减少的程度！
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### 信息熵
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ID3算法使用信息增益为准则来选择划分属性，“信息熵”(information entropy)是度量样本结合纯度的常用指标，假定当前样本集合D中
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第k类样本所占比例为pk，则样本集合D的信息熵定义为：
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信息熵特点
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> 1. 不同类别的概率分布越均匀，信息熵越大；
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> 2. 类别个数越多，信息熵越大；
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> 3. 信息熵越大，越不容易被预测；（变化个数多，变化之间区分小，则越不容易被预测）（对于确定性问题，信息熵为0；p=1; E=p*logp=0）<br>
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> 相关理解:[通俗理解信息熵](https://zhuanlan.zhihu.com/p/26486223)、[条件熵](https://zhuanlan.zhihu.com/p/26551798)
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假定通过属性划分样本集D，产生了V个分支节点，v表示其中第v个分支节点，易知：分支节点包含的样本数越多，表示该分支节点的影响
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力越大。故可以计算出划分后相比原始数据集D获得的“信息增益”（information gain）。
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信息增益越大，表示使用该属性划分样本集D的效果越好，因此ID3算法在递归过程中，每次选择最大信息增益的属性作为当前的划分属性。
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### C4.5算法
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ID3算法存在一个问题，就是偏向于取值数目较多的属性，例如：如果存在一个唯一标识，这样样本集D将会被划分为|D|个分支，每个分
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支只有一个样本，这样划分后的信息熵为零，十分纯净，但是对分类毫无用处。因此C4.5算法使用了“增益率”（gain ratio）来选择划分
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属性，来避免这个问题带来的困扰。首先使用ID3算法计算出信息增益高于平均水平的候选属性，接着C4.5计算这些候选属性的增益率，
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增益率定义为：
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### cart算法
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CART决策树使用“基尼指数”（Gini index）来选择划分属性，基尼指数反映的是从样本集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概
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率，因此Gini(D)越小越好，基尼指数定义如下：
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进而，使用属性α划分后的基尼指数为：
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## 剪枝处理
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从决策树的构造流程中我们可以直观地看出：不管怎么样的训练集，决策树总是能很好地将各个类别分离开来，这时就会遇到之前提到过
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的问题：过拟合（overfitting），即太依赖于训练样本。剪枝（pruning）则是决策树算法对付过拟合的主要手段，剪枝的策略有两种如
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下：
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> * 预剪枝（prepruning）：在构造的过程中先评估，再考虑是否分支。
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> * 后剪枝（post-pruning）：在构造好一颗完整的决策树后，自底向上，评估分支的必要性。
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评估指的是性能度量，即决策树的泛化性能。之前提到：可以使用测试集作为学习器泛化性能的近似，因此可以将数据集划分为训练集和
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测试集。预剪枝表示在构造数的过程中，对一个节点考虑是否分支时，首先计算决策树不分支时在测试集上的性能，再计算分支之后的性
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能，若分支对性能没有提升，则选择不分支（即剪枝）。后剪枝则表示在构造好一颗完整的决策树后，从最下面的节点开始，考虑该节点
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分支对模型的性能是否有提升，若无则剪枝，即将该节点标记为叶子节点，类别标记为其包含样本最多的类别。
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上图分别表示不剪枝处理的决策树、预剪枝决策树和后剪枝决策树。预剪枝处理使得决策树的很多分支被剪掉，因此大大降低了训练时间
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开销，同时降低了过拟合的风险，但另一方面由于剪枝同时剪掉了当前节点后续子节点的分支，因此预剪枝“贪心”的本质阻止了分支的展
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开，在一定程度上带来了欠拟合的风险。而后剪枝则通常保留了更多的分支，因此采用后剪枝策略的决策树性能往往优于预剪枝，但其自
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底向上遍历了所有节点，并计算性能，训练时间开销相比预剪枝大大提升。
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## 连续值与缺失值处理
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对于连续值的属性，若每个取值作为一个分支则显得不可行，因此需要进行离散化处理，常用的方法为二分法，基本思想为：给定样本集
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D与连续属性α，二分法试图找到一个划分点t将样本集D在属性α上分为≤t与＞t。
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> * 首先将α的所有取值按升序排列，所有相邻属性的均值作为候选划分点（n-1个，n为α所有的取值数目）。
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> * 计算每一个划分点划分集合D（即划分为两个分支）后的信息增益。
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> * 选择最大信息增益的划分点作为最优划分点。
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现实中常会遇到不完整的样本，即某些属性值缺失。有时若简单采取剔除，则会造成大量的信息浪费，因此在属性值缺失的情况下需要解
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决两个问题：（1）如何选择划分属性。（2）给定划分属性，若某样本在该属性上缺失值，如何划分到具体的分支上。假定为样本集中的
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每一个样本都赋予一个权重，根节点中的权重初始化为1，则定义：
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对于（1）：通过在样本集D中选取在属性α上没有缺失值的样本子集，计算在该样本子集上的信息增益，最终的信息增益等于该样本子集
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划分后信息增益乘以样本子集占样本集的比重。即：
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对于（2）：若该样本子集在属性α上的值缺失，则将该样本以不同的权重（即每个分支所含样本比例）划入到所有分支节点中。该样本在
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分支节点中的权重变为：
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## 优缺点
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- 处理连续变量不好
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- 类型比较多的时候错误增加的比较快
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- 可规模性一般
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